waraphon_tata: กุมภาพันธ์ 2012

วันอาทิตย์ที่ 12 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2555

กราฟของความสัมพันธ์

กราฟของความสัมพันธ์

ในระบบแกนมุมฉาก เราสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริง (x, y) กับพิกัดของจุดบนระนาบ โดยให้ x เป็นพิกัดแรก และ y เป็นพิกัดหลัง จากหลักการดังกล่าวทำให้เราสามารถเขียนกราฟของความสัมพันธ์ได้ดังนี้

บทนิยาม

ให้ R เป็นเซตของจำนวนจริง และ r เป็นสับเซตของ R× R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดบนระนาบ โดยที่แต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์ R


	ตัวอย่างที่ 1จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์
	r = { (x,y) ∈ A × A \| x + y = 5} เมื่อกำหนดให้
	A = {1, 2, 3, 4}
วิธีทำ	r = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}

---------------------------------------------------------------------------
	ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์
	r = { (x,y) ∈ R × R \| y = x - 1}
วิธีทำ

---------------------------------------------------------------------------
	ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์
วิธีทำ	r = { (x,y) ∈ R × R \| -1 < y ≤ 2 }

---------------------------------------------------------------------------
	ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์
วิธีทำ	r = { (x,y) ∈ I × I \| x + y < 1 }
ที่มา:http://www.thaigoodview.com/

เรขาคณิตวิเคราะห์

เรขาคณิตวิเคราะห์

เรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic Geometry) เป็นคณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่กล่าวถึงจุดบนระนาบ (point and plane)

เรขาคณิตวิเคราะห์จึงแบ่งได้ดังนี้

1. ระบบพิกัดฉาก ประกอบด้วยเส้นตรง สองเส้นเส้นหนึ่งอยู่ในแนวนอน เรียกว่า แกน x อีกเส้นหนึ่งอยู่ในแนวตั้งเรียกว่าแกน y ทั้งสองเส้นนี้ตัดกันเป็นมุมฉาก และเรียกจุดตัดว่า จุดกำเนิด y ควอดรันต์ที่ II ควอดรันต์ที่ I (-,+) (+,+) x ควอดรันต์ที่ III ควอดรันต์ที่ IV (-,-) (+,-) 2. การหาระยะทางระหว่างจุด 2 จุด ถ้า P(x1,y1) และ P(x2,y2) เป็นจุด 2 จุดในระนาบ ระยะทางระหว่างจุด P และจุด Q หาได้โดย
PQ =  (x2-x1)2 + (y2-y1) 2
3. จุดกึ่งกลางระหว่างสองจุด ถ้า P(x1,y1) และ P(x2,y2) เป็นจุด 2 จุดในระนาบและให้ M(x,y) เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง P และ Q เราสามารถหาจุด M ได้ดังนี้
จุดกึ่งกลาง M คือ x1+ x2 , y1+ y2 2 2
4. สมการของเส้นตรง Q(x2,y2) 4.1 ความชัน(slop)=tan=m
Q(x1,y1)

ความชัน = m = y2 - y1 x2 - x1
4.2 สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (x1,y1) และมีความชันเท่ากับ m
คือ y - y1 = m(x - x1)
4.3 สมการเส้นตรงที่มี y -intercept เท่ากับ b และมีความชันเท่ากับ m คือ y = mx + b
4.4 จาก 4.2 และ 4.3 สามารถเขียนสมการเส้นตรงใหม่ในรูปของ
Ax + By + C = 0
ตัวอย่าง จงหาความชันของเส้นตรง 3x + 4y - 5 = 0 วิธีทำ 4y = -3x + 5 y = -(-3/4)x +(5/4)  ความชันคือ -3/4 4.5 เส้นตรง l1 ขนานกับ l2 ก็ต่อเมื่อ m1=m2 เส้นตรง l1 ตั้งฉากกับ l2 ก็ต่อเมื่อ m1m2 = -1
5. การหาระยะทางจากจุดไปยังเส้นตรง กำหนดให้ l เป็นเส้นตรงที่มีสมการ Ax + By + C = 0 และ P(x1,y1) เป็นที่อยู่นอกเส้น l ดังรูป
P(x1,y1) d l Ax + By + C = 0

ถ้า d เป็นระยะทางจากจุด P ไปยังเส้นตรง l
d = Ax1 + By1 + C  A2 + B2

ที่มา:http://th.wikipedia.org/wiki/

ทศนิยม

ทศนิยม

ชนิดทศนิยม

1. ทศนิยมรู้จบ หรือทศนิยมซ้ำศูนย์ เช่น 1.21 , 5.24
2. ทศนิยมแบบไม่รู้จบ ซึ่งแบ่งเป็น 2แบบคือ
- แบบซ้ำ เช่น 1.333... -8.6666
- แบบไม่ซ้ำ 1.325478..., 0.25478...

ในการบวกหรือลบทศนิียม ใช้หลักการเช่นเดียวกับการบวกลบ จำนวนเต็ม แต่ก่อนจะนำไปบวกหรือลบกันนั้นต้องตั้งจุดทศนิยมให้ตรงกันเสียก่อนจึงสามารถบวกลบกันได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

การบวก 2.3+1.52                  การลบ 2.3 - 1.52
วิธีทำ                               วิธีทำ
        2.3                                            2.30
              +                                                 -
        1.52                                          1.52

3.82 0.78

ตอบ 3.82 ตอบ 0.78

การคูณทศนิยม

การคูณทศนิยม ใช้หลักการเช่นเดียวกับการคูณจำนวนเต็ม แต่ผลลัพธ์สุดท้ายจะเป็นทศนิัียมที่มีจำนวนตำแหน่งทศนิยมเท่ากับจำนวนตำแหน่งทศนิัยมของตัวตั้งและตัวคูณมารวมกัน

ตัวอย่างที่ 1 1.2 x 0.24 ตัวอย่างที่ 2 23.5 x 0.3
จะเห็นว่า 1.2 เป็นทศนิีัยม 1 ตำแหน่ง จะเห็นว่า 23.5 เป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
0.24 เป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง 0.3 เป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
ดังนั้น ดังนั้น
1.2x 0.24 จะตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง 23.5 x 0.3 จะตอบเป็นทศนิัียม 2 ตำแหน่ง

วิธีทำ (คูณเหมือนจำนวนเต็ม)                   วิธีทำ (คูณเหมือนจำนวนเต็ม)

          12                                                         235
              x                                                              x
          24                                                             3

48 675

24 ดังนั้น 23.5 x 0.3 = 6.75

288
ดังนั้น 1.2 x 0.24 = 0.288

การหารทศนิยม

การหารทศนิยม ต้องทำให้ตัวหารเป็นจำนวนเต็มเสียก่อน โดยการเลื่อนจุดทั้งของตัวตั้งและตัวหารไปเ่ท่ากัน จนทำให้ตัวหารเป็นจำนวนเต็ม แล้วหารเหมือนการหารจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง

14.9

      16                     78
                    64
                    144
                    144
                        0

ที่มา:http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/sakaew/orathai_s/math-6/sec07p4.htm

เศษส่วนอย่างตํ่า

เศษส่วนอย่างตํ่า

เศษส่วนที่ไม่มีจำนวนนับใดๆ ที่มากกว่า 1 ไปหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนได้ลงตัวเรียกว่า เศษส่วนอย่างต่ำ

ตัวอย่าง พิจารณา

และ

มี 2 หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนได้ลงตัว	ไม่มีจำนวนนับใดๆ ที่มากกว่า 1 ไปหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนได้ลงตัว
เป็นตัวอย่างของเศษส่วนอย่างต่ำ ไม่ใช่เศษส่วนอย่างต่ำ

พิจารณาการทำ

ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

วิธีที่ 1 นำตัวประกอบร่วมของ 24 และ 36 ที่มีค่ามากที่สุดมาหาร 24 และ 36 เพียงครั้งเดียว

วิธีที่ 2 นำตัวประกอบร่วมของ 24 และ 36 มาหาร 24 และ 36 ต่อเนื่องกันไปจนกว่าจะไม่มีตัวประกอบร่วม (ยกเว้น 1) มาหารได้อีก

นำ 2 มาหาร หรือ

นำ 6 มาหาร

นำ 2 มาหาร

นำ 3 มาหาร

ไม่มีตัวประกอบร่วม
(ยกเว้น 1) มาหารร่วม
ได้อีกแล้ว

ตัวประกอบร่วมที่นำมาหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนจะเป็นจำนวนใดก็ได้

ที่มา:http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/sakaew/orathai_s/math-6/sec02p6.html

จำนวนเต็ม

เรี่อง จำนวนเต็ม

1. ประโยค

ประโยค คือ คำพูดหรือข้อความที่ได้ความบริบูรณ์ตอนหนึ่งๆ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

(1) 5 + 1 = 6 (4) เป็นจำนวนเต็มลบ

(2) 6 - 4 = 4 (5) x + 5 = 9

(3) 10 > 7 (6) เขาเป็นนักคณิตศาสตร์

นักเรียนสังเกตตัวอย่างของประโยคทั้ง 6 ตัวอย่างที่กล่าวมาแล้ว จะพบว่าประโยคบางประโยคเราสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ได้แก่ ประโยคที่ (1) ถึง (4) แต่บางประโยคไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ได้แก่

ประโยคที่ (5) ไม่สามารถบอกได้ว่าจริงหรือเท็จ เพราะไม่ทราบค่า x

ประโยคที่ (6) ไม่สามารถบอกได้ว่าจริงหรือเท็จ เพราะไม่ทราบว่า “ เขา ” คือใคร

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดประโยค เขาเป็นนักคณิตศาสตร์

จะหาชื่อบุคคล ซึ่งเมื่อแทนที่ “ เขา ” แล้วทำให้ประโยคเป็นจริงชื่อหนึ่ง และอีกชื่อหนึ่งทำให้ได้ประโยคที่เป็นเท็จ

วิธีทำ (1) แทน “ เขา ” ด้วย “ ปีทาโกรัส ” จะได้ประโยค

ปีทาโกรัสเป็นนักคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นประโยคที่เป็นจริง

(2) แทน “ เขา ” ด้วย “ ศรีปราชน์ ” จะได้ประโยค

ศรีปราชน์เป็นนักคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นประโยคที่เป็นเท็จ

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดจำนวนนับ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 และ 6 จำนวนใดบ้างที่เมื่อแทนที่ x ในประโยค

เป็นจำนวนต็มบวกที่มากกว่า 2 แล้วได้ประโยคเป็นจริง

x
1
2	2
3
4	3
5
6	4

จากตารางการแทนค่า x จะได้ว่า ถ้าแทน ค่า x ด้วย 4 หรือ 6 จะได้ประโยค

3 เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 2

4 เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 2

ตามลำดับซึ่งเป็นประโยคที่เป็นจริง

สรุป

ประโยค คือ คำพูดหรือข้อความที่ได้ความบริบูรณ์ตอนหนึ่งๆ

2. จำนวนเต็ม

เมื่อเราพิจารณาบนเส้นจำนวน จะเห็นว่าจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนนับ

ได้แก่ 1 , 2 , 3 , 4 , ... จำนวนเต็มลบ ได้แก่ -1 , -2 , -3 , -4 , ... และศูนย์ ซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

3. จำนวนเต็มบวก

จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนนับ ตั้งแต่ 1 และเพิ่มทีละหนึ่ง เป็นต้นไปไม่สิ้นสุด ได้แก่ 1 , 2 , 3 , 4 ,...

ดังนั้น 1 จึงเป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดและจำนวนเต็มบวกอื่นๆ

เนื่องจาก เมื่อกำหนดจำนวนเต็มบวกใดๆ เราสามารถหาจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า และอยู่ถัดไปด้วยการบวกด้วย 1 ดังนั้นจึงไม่สามารถหาจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุดได้

4. ศูนย์

เราทราบแล้วว่า 1 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ถ้าพิจารณาจำนวนจำนวนหนึ่งซึ่งมีค่าน้อยกว่า 1 และอยู่ห่างจาก 1 เป็นระยะทาง 1 หน่วย จะได้จำนวนเต็มจำนวนหนึ่ง ซึ่งเรียกว่า จำนวนเต็มศูนย์ หรือ เรียกย่อๆว่า ศูนย์และเขียนแทนด้วย 0

สรุป

1. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนนับ ตั้งแต่ 1 และเพิ่มทีละหนึ่ง เป็นต้นไปไม่สิ้นสุด ได้แก่ 1 , 2 , 3 , 4 ,...

2. จำนวนเต็มศูนย์ คือ จำนวนที่อยู่ห่างจาก 1 เป็นระยะทาง 1 หน่วยและมีค่าน้อยกว่า 1 ถ้าพิจารณาเส้นจำนวนจะอยู่ตรงกลางระหว่าง 0 กับ -1

ที่มา:http://tc.mengrai.ac.th/kruawan/01.htm