ตรรกศาสตร์เบื้องต้นประพจน์
ประพจน์(statement or proposition) คือ ประโยคที่บอกค่าความจริง
(truth value)ได้ว่าเป็นจริง (true) หรือ เท็จ (False) เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
โดยทั่วไปจะใช้อักษรภาษาอังกฤษแทนประพจน์
ตัวบ่งปริมาณ
ในวิชาคณิตศาสตร์จะพบว่ามีการใช้ข้อความ สำหรับ x ทุกตัว และ สำหรับ x บางตัว
เรียก " สำหรับ …ทุกตัว " และ " สำหรับ…บางตัว " ว่า " ตัวบ่งปริมาณ " แทนด้วย
สัญลักษณ์
, 
ตามลำดับ x แทน สำหรับ x ทุกตัว x แทน สำหรับ x บางตัว ( มีน้อยกว่า 1 )
แทน เอกภพสัมพัทธ์R แทน เซตของจำนวนจริง
Q แทน เซตของจำนวนตรรกยะ
I หรือ Z แทน เซตของจำนวนเต็ม
N แทน เซตของจำนวนนับ
การเขียนสัญลักษณ์แทนประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ เราจะต้องเขียนเอกภพสัมพัทธ์ กำกับไว้เสมอ เพื่อจะได้ทราบขอบเขตของตัวแปรว่าแทนสิ่งใด แต่ในกรณีที่เอกภพสัมพัทธ์ เป็นเซตของจำนวนจริง มักนิยมละการเขียนเอกภพสัมพัทธ์ นอกจากนี้ในการศึกษาเกี่ยวกับ เซตนิยมละการเขียนเอกภพสัมพัทธ์เช่นเดียวกัน
ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียวพิจารณาประโยคเปิด
> 0 เมื่อกำหนดตัวบ่งปริมาณและเอกภพสัมพัทธ์ให้แตกต่างกัน ดังนี้ x[ > 0], = {0,1,2,3} หมายถึง สมาชิกทุกตัวใน ยกกำลังสองแล้วมากกว่า 0 x[ > 0], = {0,1,2,3} หมายถึง สมาชิกบางตัวใน ยกกำลังสองแล้วมากกว่า 0 x[ > 0], = {1,2,3} หมายถึง สมาชิกทุกตัวใน ยกกำลังสองแล้วมากกว่า 0 x[ > 0], = {1,2,3} หมายถึง สมาชิกบางตัวใน ยกกำลังสองแล้วมากกว่า 0 x[ < 0], = {1,2,3} หมายถึง สมาชิกบางตัวใน ยกกำลังสองแล้วน้อยกว่า 0การพิจารณาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณนั้น โดยทั่วไปจะพิจารณา
แต่ละส่วนของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ดังนี้
ส่วนที่ 1 ตัวบ่งปริมาณ
ส่วนที่ 2 ประโยคเปิด
ส่วนที่ 3 เอกภพสัมพัทธ์
ในที่นี้จะพิจารณาค่าความจริงของประโยยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ซึ่งเป็นประโยคที่มีตัวแปร เพียงตัวเดียว และเพื่อความสะดวกในการกล่าวถึงประโยค จะแทนประโยคที่มีตัวแปร x ด้วย P(x) ดังนั้น ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่จะพิจารณาค่าความจริง จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ดังนี้
[P(x)] เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ คือ
[P(x)] เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ คือ 
นิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณการพิจารณานิเสธของประโยคเปิด หรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ โดย
วิธีเทียบนิเสธของประพจน์เหมือนกับ การพิจารณาสมมูลของประโยค ดังนี้
นิเสธของ p หรือ ~p จากรูปแบบนิเสธนี้จะตกลงให้นิเสธของประโยค
เปิด หรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ โดยวิธีเติมตัวเชื่อม " ~ " ข้างหน้าประโยค เช่น
นิเสธของ P(x) คือ ~P(x)
นิเสธของ
x[P(x)] คือ ~ x[P(x)]นิเสธของ
x[P(x)] คือ ~ x[P(x)]นิเสธของ
x[P(x) ^ Q(x)] คือ ~ x[P(x) ^ Q(x)]นิเสธของ
x[P(x)] => นิเสธชอง x[Q(x)] คือ ~( x[P(x)] => x[Q(x)])สำหรับนิเสธของประโยคเปิดในรูปแบบอื่นจะเปรียบเทียบกับนิเสธของประพจน์ ได้ ดังนี้
1. นิเสธของ p ^ q คือ ~p v ~q || นิเสธของ
x[P(x)] ^ x[Q(x)]
คือ ~ x[P(x)] v ~ x[Q(x)] 2. นิเสธของ p => q คือ p ^ ~q || นิเสธของ
x[P(x)] => x[Q(x)]
คือ x[P(x)] ^ ~ x[Q(x)]^0^ข้อสังเกต^0^ ประโยคเปิดที่เป็นนิเสธกัน ถ้าเติมตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกัน ไปข้างหน้า ผลจะไม่ได้ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน
ที่มา: http://www.snr.ac.th/m4html/y4html/9.htm
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น