ตัวคูณร่วมน้อย

   

                                                                               

ตัวคูณร่วมน้อย คือ จำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มีจำนวนนับสองจำนวนใด ๆ เป็นตัวประกอบ จะเรียกจำนวนนับนั้นว่า ตัวคูณร่วมน้อยที่สุด หรือ ค.ร.น. ของจำนวนนับทั้งสองนั้น
การหา ค.ร.น. ของจำนวนนับสองจำนวนใด ๆ ทำได้หลายวิธี ดังนี้

วิธีที่ 1 หา ค.ร.น. ของ 12 และ 16 โดยเลือกจากจำนวนที่มี 12 และ 16 เป็นตัวประกอบ
จำนวนนับที่มี 12 เป็นตัวประกอบ ได้แก่ 12, 24, 36,48,60,...
จำนวนนับที่มี 16 เป็นตัวประกอบ ได้แก่ 16, 32, 48,64,80,...
48 เป็นจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มี 12 และ 16 เป็นตัวประกอบ
ดังนั้น ค.ร.น. ของ 12 และ 16 คือ 48

วิธีที่ 2 หา ค.ร.น. ของ 12 และ 16 โดยวิธีแยกตัวประกอบ
12 = 2 x 2 x 3
16 = 2 x 2 x 2 x 2
ค.ร.น. ของ 12 และ 16 คือ 2 x 2 x 3 x 2 x 2 = 48

ข้อสังเกต
ห.ร.ม. ของ 12 และ 16 คือ 4
ค.ร.น. ของ 12 และ 16 คือ 48
ผลคูณของจำนวนเต็มทั้งสอง คือ 12 x 16 = 192
ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 12 และ 16 คือ 4 x 48 = 192

สรุปได้ว่า ผลคูณของจำนวนนับทั้งสองเท่ากับผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนนับทั้งสองนั้น

บทนิยาม ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ จำนวนเต็มบวก C จะเป็นตัวคูณร่วมน้อย

( ค.ร.น. )ของ m และ n ก็ต่อเมื่อ
1. m | c และ n | c
2. ถ้า a เป็นจำนวนเต็มซึ่ง m | a และ n | a จะได้ c | a
แทน ค.ร.น. ที่เป็นบวกของ m , n ด้วย [ m , n ]

                     

1.จำนวนนับที่หารด้วยจำนวนนับที่กำหนดให้ลงตัว เรียกว่า พหุคูณของจำนวนนับที่กำหนดให้นั้นเช่น
2,4,6,8,10,12,14,16,18,... เป็นพหุคูณของ 2
3,6,9,12,15,18,... เป็นพหุคูณของ 3
จะเห็นว่า 6,12,18,...เป็นพหุคูณของทั้ง 2 และ 3
จึงเรียก 6,12,18,...ว่า พหุคูณร่วม ของ 2 และ 3 และเรียกพหุคูณร่วมที่น้อยที่สุดของ 2 และ 3 ว่าตัวคูณร่วมน้อยหรือ ค.ร.น.

2.การหาค.ร.น.ของจำนวนนับตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปเป็นการหาพหุคูณร่วมที่น้อยที่สุดของจำนวนนับเหล่านั้น
เราจึงอาศัยการหาพหุคูณร่วมในการหาค.ร.น.ของจำนวนนับเหล่านั้น
เราจึงอาศัยการหาพหุคูณร่วมในการหา ค.ร.น ของจำนวนนับ โดยวีธีต่างๆดังนี้

วิธีที่1โดยการพิจารณาพหุคูณ
วิธีที่2โดยการแยกตัวประกอบ

วิธีที่1.การหาห.ร.ม.ของจำนวนนับโดยการพิจารณาพหุคูณ
การหาค.ร.น.ของ 5 และ 7
เนื่องจาก
5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,...
เป็นพหุคูณของ 5
7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,...
เป็นพหุคูณของ 7
จะเห็นว่า 35,70,... เป็นพหุคูณร่วมของ 5 และ 7
35 เป็นพหุคูณร่วมที่น้อยที่สุดของ 5 และ 7
ดังนั้น ค.ร.น. ของ 5 และ 7 คือ 35

วิธีที่ 2 โดยการแยกตัวประกอบ
เช่น เราต้องการหา ค.ร.น ของ 18 24 210
ให้กระจายตัวประกอบออกมา
18 = 2*3*3
24 = 2*3*2*2
210 = 2*3*5*7
จากข้างบน ทั้ง 3 บรรทัด มี 2 เหมือนกัน อยู่ 1 ตัว (ลองเขียนในกระดาษแล้ววาดวงกลมล้อมคอลัมน์แรก (แถวแรกในแนวตั้ง) และก็มี 3 เหมือนกัน อยู่อีก 1 ตัว (คอลัมน์ที่ 2) หยิบมาคูณกัน
2*3 = 6
นำตัวเลขที่เหลือ (ที่ไม่ได้วงกลม ในกรณีที่วาดในกระดาษตามที่แนะนำ) มาคูณต่อ ได้คำตอบของ ค.ร.น
6 (จากขั้นตอนที่แล้ว) *3*2*2*5*7 = 2520

ที่มา:http://www.krudung.com/webst/2552/501/30/a3.html

ฐานนิยม

                  ฐานนิยม (Mode)

ฐานนิยมคือ ค่าของคะแนนที่ซ้ำกันมากที่สุดหรือ ค่าคะแนนที่มีความถี่สูงที่สุดในข้อมูลชุดนั้น
การหาฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่ได้จัดหมวดหมู่ ( Ungrouped Data ) พิจารณาค่าของข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุด คือฐานนิยม
ตัวอย่าง 5.9 จงหาฐานนิยมของข้อมูลต่อไปนี้ 3, 2, 4, 5, 6, 4, 8, 4, 7, 10
ข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุดคือ 4
ฐานนิยมคือ 4
ข้อมูลบางชุดอาจมีฐานนิยม 2 ค่า เช่น 10, 14, 12, 10, 11, 13, 12, 14, 12, 10
ข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุดคือ 10 กับ 12
ฐานนิยม คือ 10 กับ 12
ข้อมูลบางชุดอาจจะไม่มีฐานนิยมซึ่ง ได้แก่ ข้อมูลที่มีรายการซ้ำจำนวนเท่ากันหลายชุด เช่น 5, 2, 3, 4, 7, 8, 2, 3, 5, 9, 10, 2, 3, 5, 7, 9, 8, 7, 8
ข้อมูลที่ไม่มีรายการซ้ำกันเลย เช่น 8, 9, 10, 11, 13, 15
1. การหาฐานนิยมของข้อมูลที่จัดหมวดหมู่ ( Grouped Data ) ในการหาฐานนิยมของข้อมูลที่จัดหมวดหมู่

วิธีที่ 1 ให้สูตร
เมื่อ Mo = ฐานนิยม (Mode)

L = ขีดจำกัดล่างของคะแนนในชั้นที่มีความถี่สูงสุด

I = อันตรภาคชั้น

= ผลต่างของความถี่มากที่สุดกับความถี่ของชั้นก่อนหน้า

= ผลต่างของความถี่มากที่สุดกับความถี่ของชั้นที่ถัดไปทางคะแนนมาก

ตัวอย่างที่ 10 จากข้อมูลในตารางแจกแจงความถี่ จงหาฐานนิยม

คะแนน	ความถี่ (fi)
5 – 9 10 – 14 15 – 19 20 – 29 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44	3 4 3 7 6 4 2 3
	N = 32

วิธีทำ

1. ค่าฐานนิยมอยู่ในชั้น 20 – 24 (ค่าที่มากที่) ขีดจำดักล่าง คือ 19.5

2. ค่า i คือ 19.5

3.

4.

แทนค่า = =

ดังนั้น ฐานนิยมของข้อมูลในตารางนี้คือ 23.5

              

ที่มา: http://reg.ksu.ac.th/Teacher/kanlaya/3.4.html

สูตรการหาพื้นที่

   สูตรการหาพื้นที่ - Presentation Transcript

1. สูตรการหาพื้นที่
2. สี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน x ด้าน
3. ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสต่อไปนี้ วิธีทำ 5 cm. 5 cm. พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน x ด้าน = 5x5 = 25 ตร . ซม . ตอบ
4. สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง x ยาว
5. ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าต่อไปนี้ วิธีทำ พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง x ยาว = 7x11 =77 ตร . ม . ตอบ 11 m. 7 m.
6. สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = ความยาวของฐาน x ความสูง
7. ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนต่อไปนี้ วิธีทำ 5 m. 5 m. พื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = ความยาวของฐาน x ความสูง =5x5 =25 ตร . ม . ตอบ
8. สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ความยาวของฐาน x ความสูง
9. ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานต่อไปนี้ วิธีทำ 10 cm. 8 cm. พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ความยาวของฐาน x ความสูง = 10 x 8 = 80 ตร . ซม . ตอบ
10. สี่เหลี่ยมคางหมู = เศษหนึ่งส่วนสอง x ผลบวกด้านคู่ขนาน x ความสูง
11. 16 m. 5 m. ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูต่อไปนี้ วิธีทำ พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = เศษหนึ่งส่วนสอง x ผลบวกด้านคู่ขนาน x ความสูง = 16x5 = 80 ตร . ม . ตอบ
12. สี่เหลี่ยมรูปว่าว = เศษหนึ่งส่วนสอง x ผลคูณของเส้นทแยงมุม
13. ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวต่อไปนี้ วิธีทำ สี่เหลี่ยมรูปว่าว = เศษหนึ่งส่วนสอง x ผลคูณของเส้นทแยงมุม = 0.5 x (2 x 8) = 8 ตร . ซม . ตอบ 8 cm. 2 cm.
14. รูปสามเหลี่ยม = เศษหนึ่งส่วนสอง x ความยาวของฐาน x ความสูง
15. 8 m. 12 m. ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้ วิธีทำ พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = เศษหนึ่งส่วนสอง x ความยาวของฐาน x ความสูง = 0.5 x 12 x 8 = 48 9 ตร . ม . ตอบ
16. วงกลม = ลังสองพาย x r ยกกำลังสอง
17. ตัวอย่างที่ 4 จงหาพื้นที่วงกลมที่มีรัศมียาว 7 เซนติเมตร วิธีทำ 7 cm. พื้นที่วงกลม = ลังสองพาย x r ยกกำลังสอง = 22 / 7 x 7 x 7 = 154 ตร . ซม . ตอบ
18. หน่วยของพื้นที่ พื้นที่มีหน่วยเป็นตารางหน่วย เช่น ตารางวา ตารางเมตร ตารางเซนติเมตร นอกจากนี้พื้นที่ยังมีหน่วยเป็นอื่น ๆ อีก เช่น ไร่ งาน เอเคอร์ การเปลี่ยนหน่วยความยาว การเปลี่ยนหน่วยของพื้นที่ 1 กิโลเมตร = 1,000 เมตร 3 ฟุต = 1 หลา 1 งาน = 100 ตารางวา 1 ไร่ = 400 ตารางวา 12 นิ้ว = 1 ฟุต 1 ไร่ = 4 งาน 1 เมตร = 100 เซนติเมตร 1,756 หลา = 1 ไมล์ 1 เซนติเมตร = 10 มิลลิเมตร
19. วิธีเปลี่ยนหน่วยของพื้นที่
20. The End By Nampueng Choomchouy

                          







ที่มา http://www.slideshare.net/guest63819e/ss-3021712

ปริมาณเวกเตอร์และปริมาณสเกล่าร์

ปริมาณเวกเตอร์และปริมาณสเกล่าร์
ปริมาณกายภาพแบ่งออกได้ 2 ประเภท

1. ปริมาณสเกล่าร์ คือปริมาณที่บอกแต่ขนาดอย่างเดียวก็ได้ความหมายสมบูรณ์ ไม่ต้องบอกทิศทาง เช่น ระยะทาง มวล เวลา ปริมาตร ความหนาแน่น งาน พลังงาน ฯลฯ
การหาผลลัพธ์ของปริมาณสเกล่าร์ ก็อาศัยหลังการทางพีชคณิต คือ วิธีการ บวก ลบ คูณ หาร
2. ปริมาณเวกเตอร์ คือ ปริมาณที่ต้องบอกทั้งขนาดและทิศทาง จึงจะได้ความหมายสมบูรณ์ เช่น การกระจัด ความเร่ง ความเร็ว แรง โมเมนตัม ฯลฯ
การหาผลลัพธ์ของปริมาณเวกเตอร์ ต้องอาศัยวิธีการทางเวคเตอร์ โดยต้องหาผลลัพธ์ทั้งขนาดและทิศทาง
                          ปริมาณเวกเตอร์

1. สัญลักษณ์ของปริมาณเวกเตอร์
ใช้อักษรมีลูกศรครึ่งบนชี้จากซ้ายไปขวา หรือใช้ตัวอักษรทึบแสดงปริมาณเวกเตอร์ก็ได้
2. เวกเตอร์ที่เท่ากัน
เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์เท่ากัน เมื่อเวกเตอร์ทั้งสองเท่ากันและมีทิศไปทางเดียวกัน
3. เวกเตอร์ลัพธ์ใช้อักษร R
4. การบวก-ลบเวกเตอร์
การบวก-ลบเวกเตอร์ หรือการหาเวกเตอร์ สามารถทำได้ 2 วิธี คือ
1. วิธีการเขียนรูป
2. วิธีการคำนวณ


1.1 การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการเขียนรูปแบบหางต่อหัว มีขั้นตอนดังนี้
(1) เขียนลูกศรตามเวกเตอร์แรกตามขนาดและทิศทางที่กำหนด
(2) นำหางลูกศรของเวกเตอร์ที่ 2 ที่โจทย์กำหนด ต่อหัวลูกศรของเวกเตอร์แรก
(3) นำหางลูกศรของเวกเตอร์ที่ 3 ที่โจทย์กำหนด ต่อหัวลูกศรของเวกเตอร์ที่ 2
(4) ถ้ามีเวกเตอร์ย่อยๆอีก ให้นำเวกเตอร์ต่อๆไป มากระทำดังข้อ (3) จนครบทุกเวกเตอร์
(5) เวกเตอร์ลัพธ์หาได้โดยการลากลูกศรจากหางของเวกเตอร์แรกไปยังหัวของเวกเตอร์สุดท้าย เช่น


นิยามต้องทราบ
ถ้า A เป็นเวกเตอร์ใดๆที่มีขนาดและทิศทางหนึ่งๆ เวกเตอร์ -A คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับเวกเตอร์ A แต่ มี ทิศทางตรงกันข้าม

1.2 การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการคำนวณ
เนื่องจากการหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการวาดรูป ให้ผลลัพธ์ไม่แม่นยำเพียงแต่ได้คร่าวๆ เท่านั้น เพราะถ้าลากความยาวหรือทิศทางลูกศรแทนเวกเตอร์คลาดเคลื่อนเพียงเล็กน้อย ผลของเวกเตอร์ลัพธ์ก็จะคลาดเคลื่อนไปด้วยแต่การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยการคำนวณจะให้ผลลัพธ์ถูกต้องแน่นอน

การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการคำนวณ เมื่อมีเวกเตอร์ย่อยเพียง 2 เวกเตอร์ จะแบ่งออกเป็น 3 ลักษณะ ดังนี้
1. เวกเตอร์ทั้ง 2 ไปทางเดียวกัน เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดเวกเตอร์ทั้งสอง ทิศทางของเวกเตอร์ไปทางเดียวกับเวกเตอร์ทั้งสอง
2. เวกเตอร์ทั้ง 2 สวนทางกัน เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดเท่ากับผลต่างของเวกเตอร์ทั้งสอง ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ไปทางเดียวกับเวกเตอร์ที่มีขนาดมากกว่า
เพราะฉะนั้น R = B - A เมื่อ B > A , R = A - B เมื่อ A > B
3. เวกเตอร์ทั้ง 2 ทำมุม 0 ต่อกัน สามารถหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการเขียนรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน โดยให้เวกเตอร์ย่อยเป็นด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ประกอบ ณ จุดนั้น จะ ได้เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดและทิศทางตามแนวเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ลากจากจุดที่เวกเตอร์ทั้งสองกระทำต่อกัน

ระยะทาง (Distance) คือ ความยาววัดตามแนวเส้นที่อนุภาคเคลื่อนที่ เป็นปริมาณสเกล่าร์(มีเฉพาะขนาด)หน่วยมาตรฐาน SI คือ "เมตร"
การขจัด หรือ การกระจัด (Displacement) คือ เส้นตรงที่ลากจากจุดตั้งต้นของการเคลื่อนที่ไปยังจุดสุดท้ายของการเคลื่อนที่ เป็นปริมาณเวกเตอร์ มีทั้งขนาดและทิศทาง (คือ ทิศจากที่หัวศรลากจากจุดตั้งต้นไปสุดท้าย)มีหน่วย "เมตร" เช่นกัน


 

                                                   

  

ตัวหารร่วมมาก

                                      

ในคณิตศาสตร์ ตัวหารร่วมมาก หรือ ห.ร.ม. (อังกฤษ: greatest common divisor: gcd) ของจำนวนเต็มสองจำนวนซึ่งไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่หารทั้งสองจำนวนลงตัว
ตัวหารร่วมมากของ a และ b เขียนแทนด้วย gcd (a, b) หรือบางครั้งเขียนว่า (a, b) เช่น gcd (12, 18) = 6, gcd (−4, 14) = 2 และ gcd (5, 0) = 5 จำนวนสองจำนวนจะถูกเรียกว่า จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ถ้าตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 เช่น 9 และ 28 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
ตัวหารร่วมมากมีประโยชน์ในการทำเศษส่วนให้เป็นเศษส่วน

อย่างต่ำ ดังตัวอย่างนี้

= =
ซึ่งเราตัดตัวหารร่วมมากของ 42 และ 56 คือ 14 ออก

การหาตัวหารร่วมมาก ทำได้ด้วยการแยกตัวประกอบของจำนวนสองจำนวน และเปรียบเทียบตัวประกอบ ตัวอย่างเช่น gcd (18,84) เราจะแยกตัวประกอบ 18 = 2 x 32 และ 84 = 22 x 3 x 7 สังเกตว่านิพจน์ที่"ซ้อน"กันคือ 2 x 3 ดังนั้น gcd (18,84) = 6 ในทางปฏิบัติ วิธีนี้จะทำได้สำหรับจำนวนที่น้อยๆเท่านั้น เพราะการแยกตัวประกอบโดยทั่วไปนั้นจะยาวเกินไป

วิธีที่มีประสิทธิภาพกว่าคือ อัลกอริทึมของยุคลิด: หาร 84 ด้วย 18 จะได้ผลหารเท่ากับ 4 และเศษเหลือเท่ากับ 12 จากนั้นหาร 18 ด้วย 12 จะได้ผลหารเท่ากับ 1 และเศษเหลือเท่ากับ 6 จากนั้นหาร 12 ด้วย 6 จะได้เศษเหลือเท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่า 6 เป็น ห.ร.ม.

ตัวเลขจำนวนเต็มใด ๆ ก็ตามที่มีค่ามากกว่า 1 สามารถเขียนในรูปของตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะได้

ถ้าให้ n เป็นเลขจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 1

n = ...
เมื่อ p คือเลขจำนวนเฉพาะ
<< ... <
, , , ...      เป็นเลขจำนวนเต็ม > 0
k >= 1
ตัวอย่างเช่น
28 = x x
200 = x x

                    

ที่มา: http://www.krudung.com/webst/2552/501/34/a1.html